两点间的距离公式，数学中如何计算两点间的距离

一、平面内两点间距离公式

1. 公式内容
2. 设平面内有两点(A(x_1,y_1))和(B(x_2,y_2))，则两点间的距离公式为(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2})。
3. 这个公式的推导是基于勾股定理。过(A)做一直线与(X)轴平行，过(B)做一直线与(Y)轴平行，两直线交点为(C)，则(AC)垂直于(BC)（因为(X)轴垂直于(Y)轴），三角形(ACB)为直角三角形。由勾股定理得(AB^2 = AC^2+BC^2)，其中(AC=\vert x_2 - x_1\vert)，(BC=\vert y_2 - y_1\vert)，所以(AB=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2})。
4. 计算实例
5. 例如，已知点(A(1,2))和点(B(4,6))，根据公式可得：
   • (x_1 = 1,y_1 = 2,x_2 = 4,y_2 = 6)。
   • 则(d=\sqrt{(4 - 1)^2+(6 - 2)^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25} = 5)。

二、空间内两点间距离公式

1. 公式内容
2. 设空间中有两点(A(x_1,y_1,z_1))和(B(x_2,y_2,z_2))，两点间的距离公式为(d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2+(z_2 - z_1)^2})。
3. 计算实例
4. 例如，已知点(A(1,2,3))和点(B(4,6,9))，根据公式可得：
   • (x_1 = 1,y_1 = 2,z_1 = 3,x_2 = 4,y_2 = 6,z_2 = 9)。
   • 则(d=\sqrt{(4 - 1)^2+(6 - 2)^2+(9 - 3)^2}=\sqrt{3^2+4^2 + 6^2}=\sqrt{9 + 16+36}=\sqrt{61})。